Question

4．如图，△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，E、F分别为AB、BC的中点，⊙O经过E、F两点，点C在⊙O内，延长BC交⊙O于D．若∠BDO=∠A．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求点O到△ABC三边的距离各是多少？

Answer 1

分析 （1）欲证明AB为⊙O的切线，只需推知DE⊥AB即可；
（2）利用相似三角形△ABC∽△DBE、△ABC∽△DBE求得点O到AB的距离即可OE的长度；过O作OH⊥AC于点H，由面积法求得OH的长度．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵∠BDO=∠A，
∴∠B+∠BDO=90°，
∴DE⊥AB．
又DE是圆O的直径，
∴AB为⊙O的切线；

（2）解：∵在△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴由勾股定理知，AB=5．
∵E为AB的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2.5．
由（1）知，DE⊥AB．
又∠BDO=∠A，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{DE}{4}$=$\frac{2.5}{3}$，
∴DE=$\frac{10}{3}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5}{3}$．
如图，过O作OH⊥AC于点H，
∵S_△AOC+S_△AOB+S_△BOC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×4OH+$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{1}{2}$×3×4，
则OH=$\frac{1}{3}$，
∴点O到△ABC三边的距离各是：$\frac{5}{3}$、1、$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．