Question

14．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．

解答 解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$x，
∴DF=AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=$\frac{3}{2}$x．
又∵BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即$\frac{1}{2}$x+x+$\frac{3}{2}$x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是：$\frac{1}{2}$AD•DF=$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度．