Question

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF； ②△EPF是等腰直角三角形； ③2S_{四边形AEPF}=S_△ABC； ④BE+CF=EF．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E与A、B重合）．上述结论中始终正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定⑤正确

解答 解：如图，连接EF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，；
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠CPF}\\{AP=PC}\\{EAP=∠C=4{5}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①正确；
∴△EFP是等腰直角三角形，故②正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=$\sqrt{2}$PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=$\sqrt{2}$PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APF+S_△APE=S_△APF+S_△CPF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴2S_{四边形AEPF}=S_△ABC
故③正确，
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．