Question

17．如图，在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°＜∠ACD＜180°），连结BD和AE：
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；
（3）连接AD和BE，在旋转过程中，△ACD的面积记为S₁，△BCE的面积记为S₂，试判断S₁和S₂的大小，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BCD=∠ACE，然后根据SAS即可证得△BCD≌△ACE；
（2）由△BCD≌△ACE，得出BD=AE，∠DBC=∠EAC，然后根据三角形内角和定理即可证得∠AOH=90°；
（3）作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，根据同角的余角相等得出∠MCD=∠NCE，然后根据AAS证得△DCM≌△ECN，得出DM=EN，然后根据三角形面积就可证得S₁=S₂．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠DCE=90°，
∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图1，∵△BCD≌△ACE
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC
∵∠AHO=∠BHC
∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°
∴∠AOH=90°
∴BD⊥AE
（3）解：如图2，作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，
∵∠MCD+∠DCN=90°，∠ECN+∠DCN=90°，
∴∠MCD=∠NCE，
在△DCM和△ECN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCD=∠ECN}\\{∠DMC=∠ENC=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△DCM≌△ECN（AAS），
∴DM=EN，
∵S₁=$\frac{1}{2}$AC•DM，S₂=$\frac{1}{2}$BC•EN，
∵AC=BC，
∴S₁=S₂．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质以及三角形面积等，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．