Question

12．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．
（1）求证：△GDF≌△CEF；
（2）若AB=5，BC=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF，进而利用ASA得出△GDF≌△CEF；
（2）由（1）△GDF≌△CEF得DG=CE，由于BD=CE，于是得到BD=DG，求得∠DBG=∠DGB，根据平行线的性质得到∠DGB=∠ACB，等量代换得到∠ABC=∠ACB，过A作AH⊥BC与H，根据等腰三角形的性质得到BH=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵DG∥AC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{DF=EF}\\{∠DFG=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（ASA）；
              
（2）由（1）△GDF≌△CEF得DG=CE，
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC=5，
过A作AH⊥BC与H，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}×6×4$=12．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．