Question

2．如图，在平面直角坐标系中xOy中，点O为坐标原点，直线y=-2x+6与x轴交于点A，点B（1，m）在直线y=-2x+6上．
（1）求以B为顶点且经过A点的抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，P是线段AB上一点（点P不与A、B重合），过点P作PD⊥OA，垂足为D，连接CP，设P点横坐标为m，四边形OCPD的面积为S，求S与m之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）求四边形OCPD面积的最大值和此时P点坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数图象上点的坐标特征确定A点和B点坐标，再设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定C点坐标，则设P（m，-2m+6），则D（m，0），于是梯形的面积公式得到S=$\frac{1}{2}$•（-2m+6+3）•m，然后整理为一般形式即可；
（3）把（2）中的解析式配成顶点式得到S=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{81}{16}$，然后根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）把B（1，m）代入y=-2x+6得m=-2+6=4，则B（1，4），
当y=0时，-2x+6=0，解得x=3，则A（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入得a•（3-1）²+4=0，解得a=-1，
所以以B为顶点且经过A点的抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）如图，当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3），
设P（m，-2m+6），则D（m，0），
所以S=$\frac{1}{2}$•（-2m+6+3）•m
=-m²+$\frac{9}{2}$m；
（3）S=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{81}{16}$，
所以当m=$\frac{9}{4}$时，S有最大值，即四边形OCPD面积的最大值为$\frac{81}{16}$，此时P点坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式；