Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD．
（1）求证：OP=OF；
（2）求AP的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出∠E=∠A=90°，从而得到∠D=∠E=90°，然后可证明△ODP≌△OEF，从而得到OP=OF；
（2）由△ODP≌△OEF，得出OP=OF，PD=FE，从而得到DF=PE，设AP=EP=DF=x，则PD=EF=6-x，DF=x，求出CF、BF，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8．
由翻折的性质可知：EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{OD=OE}\\{∠DOP=∠EOF}\end{array}\right.$，
∴△ODP≌△OEF（ASA）．
∴OP=OF．
（2）∵△ODP≌△OEF（ASA），
∴OP=OF，PD=EF．
∴DF=EP．
设AP=EP=DF=x，则PD=EF=6-x，CF=8-x，BF=8-（6-x）=2+x，
在Rt△FCB根据勾股定理得：BC²+CF²=BF²，即6²+（8-x）²=（x+2）²，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．