Question

19．如图，直角△ABC，∠B=30°．
（1）过A点作一条直线AD交BC于D点，使S_△ABD=2S_△ACD，并说明理由；
（2）在图（2）中，作二条直线将△ABC分成三个三角形，使三个三角形均为全等三角形，并作简单证明（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）要使S_△ABD=2S_△ACD，只要在BC上找到点D使BD=2CD，连接AD即可；利用高相等的三角形，底之比等于面积比得出答案；
（2）作AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，连接AE即可根据线段垂直平分线的性质可得将△ABC分成三个三角形，使三个三角形均为全等三角形；进一步利用三角形全等的判定方法证明△ADE≌△DBE，△DBE≌△CAE得出答案即可．

解答 解：（1）如图，在BC上找到点D使BD=2CD，连接AD．

S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AC，S_△ACD=$\frac{1}{2}$DC•AC，
∵BD=2CD，
∴S_△ABD=2S_△ACD．
（2）如图，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB，AD=DB，
∴∠A=∠BAE=30°，
∴∠AEC=60°，
∵∠C=90°，
∴∠EAC=30°
在△BDE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{DE=DE}\\{BE=AE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADE（SSS），
在△ADE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠C}\\{∠DAE=∠CAE}\\{EA=EA}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△CAE（AAS），
∴△BDE≌△ACE≌△DAE．

点评 此题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定，掌握三角形的面积，垂直平分形的性质以及全等三角形的判定是解决问题的关键．