Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．

【解答】解：①∵函数的图象与x轴相交于O，

∴0=k+1，

∴k=﹣1，

∴y=x²﹣3x，

②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，

∵△AOB的面积等于6，

∴AO•BD=6，

当0=x²﹣3x，

x（x﹣3）=0，

解得：x=0或3，

∴AO=3，

∴BD=4

 即4=x²﹣3x，

 解得：x=4或x=﹣1（舍去）．

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25）．

∵2.25＜4，

∴x轴下方不存在B点，

∴点B的坐标为：（4，4）；

③∵点B的坐标为：（4，4），

∴∠BOD=45°，BO==4，

当∠POB=90°，

∴∠POD=45°，

设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x²﹣3x，

即﹣x=x²﹣3x，

解得x=2 或x=0，

∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）．

∴OP==2，

使∠POB=90°，

∴△POB的面积为：PO•BO=×4×2=8．

【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．