【题目】如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴相交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(2)求证:∠DAB=∠ACB;
(3)点Q在抛物线上,且△ADQ是以AD为底的等腰三角形,求Q点的坐标.
【答案】(1)(﹣1,4);(2)∠DAB=∠ACB;(3) ,
【解析】试题分析:(1)把B、C坐标代入抛物线解析式中,解方程组即可得到抛物线解析式,从而得到抛物线顶点坐标;
(2)由tan∠OCB=.tan∠DAC=
,得到∠DAC=∠OCB,从而得到结论;
(3)令Q(x,y)且满足,由△ADQ是以AD为底的等腰三角形,得到QD2=QA2,从而得到x-2+2y=0.解方程组
,即可得到结论.
试题解析:解:(1)把B(1,0)和C(0,3)代入中,
得:,解得:
.
∴抛物线的解析式是:,∴顶点坐标D(-1,4).
(2)令y=0,则,x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),∴OA=OC=3,∴∠CAO=∠OCA.在Rt△BOC中,tan∠OCB=
.
∵AC=,DC=
,AD=
,∴AC2+DC2=20,AD2=20,∴AC2+DC2=AD2,∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°,∴tan∠DAC=
.
又∵∠DAC和∠OCB都是锐角,∴∠DAC=∠OCB,∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA,即∠DAB=∠ACB.
(3)令Q(x,y)且满足,A(-3,0),D(-1,4).∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形,∴QD2=QA2,即
,化简得:x-2+2y=0.
由,解得:
,
,
∴点Q的坐标是(,
),(
,
).
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【题目】中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高,内容丰富,某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛,对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级,并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息,回答下列问题:
(1)扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为 度,并将条形统计图补充完整.
(2)此次比赛有四名同学活动满分,分别是甲、乙、丙、丁,现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛,请用列表法或画树状图法,求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.
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【题目】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.
《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几 何?
译文:假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少:”
设有x个人共同买鸡,鸡的价钱是y钱,根据题意可列方程组为__________.
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【题目】在直角坐标系中,反比例函数y=(x>0),过点A(3,4).
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)求当y≥2时,自变量x的取值范围.
(3)在x轴上有一点P(1,0),在反比例函数图象上有一个动点Q,以PQ为一边作一个正方形PQRS,当正方形PQRS有两个顶点在坐标轴上时,画出状态图并求出相应S点坐标.
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【题目】已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC,且∠BAC = 90o,
.
(1)求点的坐标;
(2)在第一象限内有一点M(1,m),且点M与点C位于直线AB的同侧,使得,求点M的坐标.
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【题目】某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树,经过研究,决定租用当地租车公司一共62辆两种型号客车作为交通工具.
下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息:
型号 | 载客量 | 租金单价 |
30人/辆 | 380元/辆 | |
20人/辆 | 280元/辆 |
注:载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.设学校租用型号客车
辆,租车总费用为
元.
(1)求与
的函数解析式,请直接写出
的取值范围;
(2)若要使租车总费用不超过21940元,一共有几种租车方案?哪种租车方案总费用最省?最省的总费用是多少?
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【题目】国家规定,中小学生每天在校体育活动时间不低于.为此,某县就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题,随机调查了辖区内300名初中学生.根据调查结果绘制成统计图如图所示,其中
组为
,
组为
,
组为
,
组为
.
请根据上述信息解答下列问题:
(1)本次调查数据的中位数落在______组内,众数落在______组内;
(2)若该辖区约4000名初中生,请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数;
(3)若组取
,
组取
,
组取
,
组取
,试计算这300名学生平均每天在校体育活动的时间.
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【题目】把下列各数对应的序号填入表示它所在的数集的括号里.
﹣(﹣2.3),,0,﹣
,30%,π,﹣|﹣2013|,﹣5
,0.333333…
正数集合{__________________________…};
负整数集合{________________________…};
分数集合{__________________________…};
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【题目】如图,己知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法:①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;③△ABC与△DEF的周长比为1∶2;④△ABC与△DEF的面积比为4∶1. 正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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