Question

已知，如图，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，P为BC上一点，以AP为直径的圆O交AB于D，PE∥AB交AC于E，b，c是方程x²+kx+9=0的两根，且（b²+c²）（b²+c²-14）-72=0，锐角B的正弦值等于．
（1）求k的值；
（2）设BD=x，求四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式；
（3）问圆O是否能与BC相切？若能请求出x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵（b²+c²）（b²+c²-14）-72=0，
∴（b²+c²）²-14（b²+c²）-72=0，
解得：b²+c²=18，b²+c²=-4（舍去），
∵b，c是方程x²+kx+9=0的两根，
∴b+c=-k，bc=9，
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=18，
即（-k）²-2×9=18，
解得：k=6，k=-6，
∵b+c=-k，c、b是三角形的边长，
∴k=6舍去，
即k=-6；

（2）解：把k=-6代入方程得：x²-6x+9=0，
解得：x₁=x₂=3，
即b=c=3，
AB=AC=3，
∵AP是直径，
∴∠ADP=90°=∠BDP，
∵sinB=，
∴=，
设PD=2y，BD=3y，在Rt△BDP中，由勾股定理得：PD²+BD²=PB²，
即+x²=（3y）²，
解得：y=x，
PD=2x，PB=3x，
过A作AN⊥BC于N，
∵AB=3，sinB==，
∴AN=2，
由勾股定理得：BN=1，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴CN=BN=1，
BC=2，
∵PE∥AB，
∴△CPE∽△CBA，
∴=，
∴=，
∴PE=-x+3，
∴四边形ADPE的面积S=（PE+AD）×PD=×（x+3+3-x）×2x=x²+3x，
答：四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式是S=x²+3x．

（3）解：圆O能与BC相切，
理由是：根据圆的切线的性质，当∠APB=90°时，圆O能与BC相切，
∵AP是直径，
∴∠ADP=90°，
∵AC=AB=3，BC=2，
∴BD=DC=1，
由（2）知：PB=3x=1，
x=，
答：圆O能与BC相切，x的值是．
分析：（1）求出b²+c²=18，根据根与系数的关系求出b+c=-k，bc=9，代入得出方程（-k）²-2×9=18，求出即可；
（2）求出方程的解，得出AB=AC=3，根据sinB==，设PD=2y，PD=3y，在Rt△BDP中，由勾股定理求出y=x，得出PD=2x，PB=3x，求出BC，根据△CPE∽△CBA，得出比例式求出PE，代入S=（PE+AD）×PD求出即可；
（3）根据圆的切线的性质，当∠APB=90°时，圆O能与BC相切，根据等腰三角形性质得出BD=DC=，根据PB=3x=求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，梯形的性质，等腰三角形的性质，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．