Question

【题目】在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且．

（1）试说明：；

（2）在图中，若点在上，且，试猜想、、之间的数量关系，并证明所归纳结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析

【解析】

（1）通过角的计算得出∠C=∠DBF，结合CD=BD、CE=BF即可证出△CDE≌△BDF（SAS），由此即可得出DE=DF；
（2）连接AD，结合AC=AB、DC=DB即可证出△ABD≌△ACD（SSS），由此即可得出∠BDA=∠CDA=60°，再根据∠EDG=60°即可得出∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，由（1）可知△CDE≌△BDF，进而得知∠CDE=∠BDF，根据角的计算即可得出∠EDG=∠FDG，结合DE=DF即可证出△DEG≌△DFG（SAS），即得出EG=FG，由相等的边与边之间的关系即可证出CE+BG=EG．

（1）∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF(SAS)，
∴DE=DF；

（2）如图，连接AD，

猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．
证明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=，
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDG+∠BDF=60°，
即∠FDG=60°，
∴∠EDG=∠FDG，
在△DEG和△DFG中，

，

∴△DEG≌△DFG，
∴EG=FG，
又∵CE=BF，FG=BF+BG，
∴CE+BG=EG．