Question

已知△ABC中，∠A=α，点D、E、F分别在BC、AB、AC上．
（1）如图1，若BE=BD，CD=CF，则∠EDF=______；
（2）如图2，若BD=DE，DC=DF，则∠EDF=______；
（3）如图3，若BD=CF，CD=BE，AB=AC，则∠EDF=______；
（2）如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB=AC，则∠EDF=______．

Answer 1

解：（1）∵∠A=α，
∴∠B+∠C=180°-α，
∵BE=BD，CD=CF，
∴∠BED=∠BDE，∠CFD=∠CDF，
∴∠BDE+∠CDF=（180°-∠B）+（180°-∠C）=180°-（∠B+∠C）=90°+α，
∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF）=90°-α；

（2）∵∠A=α，
∴∠B+∠C=180°-α，
∵BD=DE，DC=DF，
∴∠BED=∠B，∠CFD=∠C，
∴∠BDE=180°-2∠B，∠CDF=180°-2∠C，
∴∠BDE=180°-（∠BED+∠CDF）=2（∠B+∠C）-180°=180°-2α；

（3）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠B=∠C=90°-α，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，
∴∠EDF=∠B=90°-α；

（4）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠B=∠C=90°-α，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BDE+∠EDF=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠EDF=∠B=90°-α．
故答案为：（1）90°-α，（2）180°-2α，（3）90°-α，（4）90°-α．
分析：（1）由△ABC中，∠A=α，可求得∠B+∠C的值，又由BE=BD，CD=CF，根据等腰三角形的性质，即可求得∠BDE+∠CDF的值，继而求得答案；
（2）由△ABC中，∠A=α，可求得∠B+∠C的值，又由BD=DE，DC=DF，根据等腰三角形的性质，即可求得∠BDE+∠CDF的值，继而求得答案；
（3）由△ABC中，∠A=α，AB=AC，可求得∠B的值，易证得△BDE≌△CFD，继而可求得∠EDF=∠B；
（4）由△ABC中，∠A=α，AB=AC，可求得∠B的值，又由DE⊥AB，DF⊥BC，可求得∠EDF=∠B．
点评：此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．