Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别与x轴、y轴交于A（4，0）、B两点，将线段AB沿x轴正方向平移2个单位长度至A′B′，AB扫过的面积为S_{四边形ABB′A′}=4．
（1）求B点坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使得S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△AOP？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性质可判定四边形ABB′A′为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可计算出OB=2，所以B（0，2）；
（2）设P（0，t），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•4•|2-t|=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•4•|t|，然后解绝对值方程求出t，即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵线段AB沿x轴正方向平移2个单位长度至A′B′，
∴四边形ABB′A′为平行四边形，
∴OB•2=4，
解得OB=2，
∴B（0，2）；
（2）存在．
设P（0，t），
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△AOP，
∴$\frac{1}{2}$•4•|2-t|=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•4•|t|，
解得t=$\frac{4}{3}$或t=4，
∴P点坐标为（0，$\frac{4}{3}$），（0，4）．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b+m，向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m．也考查了三角形面积公式．