Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴，y轴交于点M，N，与反比例函数y=的图象交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E，过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图1，试证明：AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

Answer 1

解：（1）连接AD，BC，过D作DP⊥AB，过C作CQ⊥AB，
S_△ADC=AC．DK=x₁．y₁=k，
S_△BDC=BD．CK=x₂y₂=k，
∴S_△ADC=S_△BDC，即S_△ADK=S_△BCK，
∴S_△ADB=S_△ACB，
∴DP=CQ，又DP∥CQ，又∠DPQ=90°，
∴四边形PQCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵AC∥ND，
∴ANDC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理：DC=BM，
∴AN=BM．


（2）相等．
AN与BM仍然相等．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK•DK=BK•CK．
∴CK：AK=DK：BK．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．
分析：（1）本题需先连接AD，BC，得出S_△ADC=S_△BDC再证出ANDC是平行四边形，得出AN=CD和DC=BM，从而得出AN=BM．
（2）本题需先根据（1）的理由即可得出AN与BM相等即可．
点评：本题主要考查了反比例函数的综合应用，在解题时要能把反比例函数的图象与平行四边形的判定和性质相结合是本题的关键．