Question

8．已知关于x的方程x²+ax+a-2=0．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）解：设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到2+t=-a，2t=a-2，然后通过解方程组可得到a和t的值；
（2）先计算判别式的值得到△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4，然后利用非负数的性质得到△＞0，则根据判别式的意义可判断不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

解答 （1）解：设方程的另一根为t，
根据题意得2+t=-a，2t=a-2，
所以2+t+2t=-2，解得t=-$\frac{4}{3}$，
所以a=-$\frac{2}{3}$；
（2）证明：△=a²-4（a-2）
=a²-4a+8
=（a-2）²+4，
∴△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．