Question

已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．

Answer 1

考点：根的判别式,抛物线与x轴的交点

专题：证明题

分析：（1）分类讨论：当m=0时，方程变形为一元一次方程，有一个解；当m≠0时，先计算判别式的值得到△=（3m-1）²，根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到方程总有两个实数解，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先解方程得到x₁=-

1

m

，x₂=-3，根据抛物线与x轴的两交点问题得到交点坐标为（-

1

m

，0），（-3，0），再根据正数的整除性易得m=1，从而得到抛物线解析式．

解答：（1）证明：当m=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，△=（3m+1）²-4m•3=（3m-1）²，
∵（3m-1）²≥0，即△≥0，
∴m≠0时，方程总有两个实数解，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：根据题意得m≠0，
mx²+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x₁=-

1

m

，x₂=-3，
则抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴的两交点坐标为（-

1

m

，0），（-3，0），
而m为正整数，-

1

m

也为整数，所以m=1，
所以抛物线解析式为y=x²+4x+3．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了抛物线与x轴的交点问题．