Question

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x+2与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=kx+$\frac{1}{2}$与抛物线相交于点A，D．
（1）填空：A（-1，0），B（4，0），C（0，2），k=$\frac{1}{2}$；
（2）点M为抛物线对称轴l上一动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式即可求得A、B、C的坐标，把A的坐标代入y=kx+$\frac{1}{2}$即可求得k的值；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，得出对称轴x=$\frac{3}{2}$，由A、B关于l对称，得出直线BC与l的交点即为所求的点M，设直线BC的解析式为y=mx+2，代入B的坐标，根据待定系数法求得解析式，代入x=$\frac{3}{2}$，即可求得M的值；
（3）分三种情况分别讨论，根据勾股定理求得即可．

解答 解：（1）令y=0，则-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
令x=0，则y=2，
∴C（0，2），
把A（-1，0）代入y=kx+$\frac{1}{2}$得，-k+$\frac{1}{2}$=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
故A（-1，0），B（4，0），C（0，2），k=$\frac{1}{2}$；
（2）∵y=-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-）²+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线的对称轴l是x=$\frac{3}{2}$，
∵A、B关于l对称，
∴直线BC与l的交点即为所求的点M，
设直线BC的解析式为y=mx+2，
则4m+2=0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$+2=$\frac{5}{4}$，
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）；

（3）设P（0，y），PA²=1²+y²，AD²=4²+2²=20，PD²=3²+（y-2）²，
①若∠PAD=90°，
由PA²+AD²=PD²，得1²+y²+20=3²+（y-2）²，
解得y=-2，
∴P（0，-2）；
②若∠PDA=90°，则有1²+y²=20+3²+（y-2）²，
解得y=8，
∴P（0，8）；
③若∠APD=90°，则有1²+y²+3²+（y-2）²=20，
解得y=3或y=-1，
∴P（0，3）或（0，-1），
综上，在y轴上是存在点P，使△PAD是直角三角形，它的坐标是（0，-2）或（0，8）或（0，3）或（0，-1）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，勾股定理的应用等，分类讨论思想的运用是解题的关键．