Question

17．已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=$\sqrt{3}$，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，将△OB₁C₁绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂，…，如此继续下去，得到△OB₂₀₁₅C₂₀₁₅，则点C₂₀₁₅的坐标是（2²⁰¹⁶，0）．

Answer 1

分析 根据直角三角形得出∠BOC=60°，然后求出OC₁、OC₂、OC₃、…、OC_n的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C₂₀₁₅是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．

解答 解：∵∠OBC=90°，OB=1，BC=$\sqrt{3}$，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₁=OC，
∴OC₁=2OC=2×2=4=2²，
OC₂=2OC₁=2×4=8=2³，
OC₃=2OC₂=2×8=16=2⁴，
…，
OC_n=2ⁿ⁺¹，
∴OC₂₀₁₅=2²⁰¹⁶，
∵2015÷6=335…5，
∴点C₂₀₁₅与点C₅在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（2²⁰¹⁶，0）．
故答案为：（2²⁰¹⁶，0）．

点评 本题考查了坐标与图形的变化-旋转，根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C₂₀₁₅是第几个循环组的第几个点是解题的关键．