Question

7．定义：点P是四边形ABCD内一点，若三角形△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，则称点P是四边形ABCD的一个“准中心”，如，正方形的中心就是它的一个“准中心”．
（1）如图，已知点P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC=∠PCB=60•，证明点P是正四边形ABCD的一个“准中心”；
（2）填空：正方形ABCD共有5个“准中心”；
（3）已知∠BAD=60°，AB=AD=6，点C是∠BAD平分线上的动点，问在四边形ABCD的对角线AC上最多存在几个“准中心”点P（自行画出示意图），并求出每个“准中心”点P对应线段AC的长（精确到个位）．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，利用已知条件，即可解答；
（2）正方形ABCD共有5个“准中心”；
（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；分三种情况讨论：
①如图1，当PA=PB=PC=PD时，点P是“准中心”点，
②如图2，当PA=BA=DA，PB=PC=PD时，点P是“准中心”点，
③如图3，当AB=PB=PC=PD=AD时，点P是“准中心”点，
利用角平分线的性质、等腰三角形的性质和解直角三角形，即可求出AC的长．

解答 解：（1）∵ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=BC=CD，
又∵∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠BPC=60°，
∴PB=PC=BC=AB=CD，
∴PA=PD，
∴△PAB，△PBC，△PCD，△PDA均为等腰三角形，
∴点P是正方形ABCD的一个“准中心”．
（2）正方形ABCD共有5个“准中心”；
（3）在四边形ABCD的对角线AC上最多存在3个“准中心”点P；
①如图1，当PA=PB=PC=PD时，点P是“准中心”点，

∵∠BAD=60°，点C是∠BAD平分线上，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=∠BPC=60°，∠ABC=90°，
则AC=$\frac{AB}{sin6{0}^{°}}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$．
②如图2，当PA=BA=DA，PB=PC=PD时，点P是“准中心”点，

则PA=6，
∵∠BAD=60°，点C是∠BAD平分线上，
∴∠BAC=30°，
∴∠APB=75°，
∴∠PCB=$\frac{1}{2}∠APB$=37.5°，
作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，BE=$\frac{1}{2}$AB=3，AE=AB$•cos∠BAE=3\sqrt{3}$，
在Rt△CEB中，CE=$\frac{BE}{tan∠ECB}=\frac{3}{tan37．{5}^{°}}$，
∴AC=AE+CE=$3\sqrt{3}+\frac{3}{tan37．{5}^{°}}≈9$．
③如图3，当AB=PB=PC=PD=AD时，点P是“准中心”点，

此时四边形ABPD是菱形，连接BD，
则PA=2AE=2AB•cos30°=$2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$，
∴AC=PA+PC=$6\sqrt{3}+6≈16$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、解直角三角形，解决本题的关键是理解“准中心”的定义，结合已知条件，画出图形，再利用正方形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、解直角三角形，进行解答．在（3）中，注意分类讨论思想的应用．