Question

9．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x=$\frac{1}{2}$时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是3；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的选项是（　　）

• A． ①③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 （1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD的中点，即点P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=$\frac{3}{4}$AC，同理得出GH=$\frac{1}{4}$AC，从而得出结论．
（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积-△EBF的面积-△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．
（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．

解答 解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，
∴点P是正方形ABCD的中心；
故①结论正确，
（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{EF}{AC}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{EF}{AC}$，
∴EF=$\frac{3}{4}$AC，
同理，GH=$\frac{1}{4}$AC，
∴EF+GH=AC，
故②结论错误，
（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积-△EBF的面积-△GDH的面积．
∵AE=x，
∴六边形AEFCHG面积=2²-$\frac{1}{2}$BE•BF-$\frac{1}{2}$GD•HD=4-$\frac{1}{2}$×（2-x）•（2-x）-$\frac{1}{2}$x•x=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，
故③结论正确，
（4）当0＜x＜2时，
∵EF+GH=AC，
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$故六边形AEFCHG周长的值不变，
故④结论正确．
故选C

点评 此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度．