Question

3．如图，在菱形ABCD中，AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，点E在AB上，AE=4，过点E作EF∥AD，交CD于点F．
（1）请写出菱形ABCD的面积：80；
（2）若点P从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿着线段AB向终点B运动，同时点Q从点E出发也以1个单位长度/秒的速度沿着线段EF向终点F运动，设运动时间为t（秒）．
①当t=5时，求PQ的长；
②以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点B作BN⊥AD于N，如图1，在Rt△ANB中，运用三角函数求出BN，就可求出菱形ABCD的面积；
（2）①过点P作PM⊥EF于M，如图2．由题意可知AE=4，AP=EQ=5，EP=AP-AE=1，然后运用三角函数和勾股定理就可依次求出PM、EM、MQ、PQ的值；
②过P作PH⊥AD于H，交EF于G点，如图3，若以P为圆心，PQ长为半径的⊙P与直线AD相切，则PH=PQ，然后用t的代数式表示PH²和PQ²，根据PH²=PQ²建立关于t的方程，解这个方程，就可求出t的值．

解答 解：（1）过点B作BN⊥AD于N，如图1．

BN=AB•sinA=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴S_菱形ABCD=AD•BN=10×8=80．
故答案为80；

（2）①过点P作PM⊥EF于M，如图2．

由题意可知AE=4，AP=EQ=5，EP=AP-AE=1．
∵EF∥AD，∴∠BEF=∠A，
∴sin∠BEF=$\frac{PM}{EP}$=sinA=$\frac{4}{5}$，
解得PM=$\frac{4}{5}$，
在Rt△PME中，EM=$\sqrt{E{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
则有MQ=5-$\frac{3}{5}$=$\frac{22}{5}$．
在Rt△PQM中，PQ=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{22}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
即PQ的长为2$\sqrt{5}$；
②过P作PH⊥AD于H，交EF于G点，如图3，

则PH=$\frac{4}{5}$t，PE=t-4，PG=$\frac{4}{5}$（t-4），EG=$\frac{3}{5}$（t-4），
∴GQ=EQ-EG=t-$\frac{3}{5}$（t-4）=$\frac{2}{5}$t+$\frac{12}{5}$，
∴PQ²=PG²+GQ²=（$\frac{4}{5}$t-$\frac{16}{5}$）²+（$\frac{2}{5}$t+$\frac{12}{5}$）²．
若以P为圆心，PQ长为半径的⊙P与直线AD相切，则PH=PQ，
则有（$\frac{4}{5}$t）²=（$\frac{4}{5}$t-$\frac{16}{5}$）²+（$\frac{2}{5}$t+$\frac{12}{5}$）²，
整理得t²-20t+100=0，
解得：t₁=t₂=10．
此时t的值为10．

点评 本题主要考查了菱形的性质、圆的切线的性质、平行线的性质、三角函数的定义、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用三角函数及勾股定理求线段的长是解决本题的关键．