【题目】如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,过点A作射线AE,过点C作CF⊥AE于点F,过点B作BG⊥AE于点G,连接FD并延长,交BG于点H.
(1)求证:DF=DH;
(2)若∠CFD=120°,求证:△DHG为等边三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题
(1)首先证明∠1=∠2,再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH;
(2)首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°,再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°,再根据直角三角形的性质可得,HG=HF,进而得到结论.
试题解析:(1)∵CF⊥AE,BG⊥AE,
∴∠BGF=∠CFG=90°,
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME,
∵∠GMB=∠CME,
∴∠1=∠2,
∵点D为边BC的中点,
∴DB=CD,
在△BHD和△CED中,
∴△BHD≌△CED(ASA),
∴DF=DH;
(2)∵∠CFD=120°,∠CFG=90°,
∴∠GFH=30°,
∵∠BGM=90°,
∴∠GHD=60°,
∵△HGF是直角三角形,HD=DF,
∴DG=HF=DH,
∴△DHG为等边三角形.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.
(1)若∠A=40°,求∠DCB的度数;
(2)若AE=5,△DCB的周长为16,求△ABC的周长.
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【题目】一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地,两车同时出发.不久,第二列快车也从甲地发往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分后,第二列快车与慢车相遇.设慢车行驶的时间为x(单位:时),慢车与第一、第二列快车之间的距离y(单位:千米)与x(单位:时)之间的函数关系如图1、图2,
根据图象信息解答下列问题:
(1)甲、乙两地之间的距离为千米.
(2)求图1中线段CD所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)请直接在图2中的( )内填上正确的数.
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【题目】如图,已知抛物线y= (x+2)(x﹣4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于点D,M为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)设动点N(﹣2,n),求使MN+BN的值最小时n的值;
(3)P是抛物线上一点,请你探究:是否存在点P,使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况,现从全市初三学生体育测试成绩中随机抽取120名学生的体育测试成绩作为样本.体育成绩分为四个等次:优秀、良好、及格、不及格.
(1)试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数;
(2)统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表(如图表所示),请将图表填写完整(记学生课外体育锻炼时间为小时);
(3)全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”,请估计这些学生中课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数.
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【题目】(1)如图①是一个重要公式的几何解释.请你写出这个公式;
(2)如图②,Rt△ABC≌Rt△CDE,∠B=∠D=90°,且B、C、D三点在一条直线上.试证明∠ACE=90°;
(3)伽菲尔德(G a rfield,1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日,发表在《新英格兰教育日志》上),现请你尝试该证明过程.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)连接BD,求证:BD平分∠CBA.
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