Question

3．如图，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，其中∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3，将该三角形沿直线AC翻折得到△BAC．一动点P从点O出发，沿折线O→A→B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，设运动时间为t（秒）．当t=1或5时，△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先求得OA=6，利用翻折得出AB=6，进一步分两种情况：当P点在OA上和P点在AB上两种情况探讨，根据“△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$”，列出方程求得答案即可．

解答 解：∵∠ACO=90°，∠CAO=30°，OC=3，
∴OA=6，AC=3$\sqrt{3}$，
∵沿直线AC翻折得到△BAC，
∴AB=6，
如图，

当P点在OA上时，AP=6-2t，PH=$\frac{1}{2}$AP=3-t，
$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（3-t）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$
解得：t=1；
如图，

当P点在AB上，AP=2t-6，PH=$\frac{1}{2}$AP=t-3，
$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（t-3）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$
解得：t=5；
所以当t=1或5时，△ACP的面积为△AOB面积的$\frac{1}{3}$．
故答案为：1或5．

点评 此题考查翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，利用三角形的面积建立方程是解决问题的关键．