Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O为BC上一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O切AC于M，交BC于D，CD=2，OD=3．
（1）如图1，求tan∠ACB及AM的长；
（2）如图2，E为AB中点，CE、MB交于点N，求

EN

CN

的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）首先运用切割线定理求出CM的长，然后运用勾股定理求出AB的长，问题即可解决．
（2）作平行线，构造相似三角形，运用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

∵CD=2，OD=3，
∴CB=2+6=8；
∵AC为⊙O的切线，
∴CM²=CD•CB，
∴CM=

2×8

=4；
∵∠ABC=90°，AM为⊙O的切线，
∴AB=AM（设为x）．
由勾股定理得：（x+4）²=x²+8²，
解得x=6；
tan∠ABC=

AB

BC

=

6

8

=

3

4

；
∴tan∠ACB及AM的长分别为

3

4

，6．

（2）如图2，过点C作CP∥AB，交BM的延长线于点P；

则△BEN∽△PCN，△ABM∽△CPM，
∴

EN

CN

=

BE

CP

，

AB

PC

=

AM

MC

；
∵AB=AM．
∴PC=MC=4；
又∵E为AB中点，
∴BE=

1

2

AB=3，
∴

EN

CN

=

3

4

．

点评：该题在考查切割线定理及其应用问题的同时，还考查了切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来解题．