Question

1．已知x满足3x²-x-1=0，求代数式|2x-$\frac{{x}^{2}-2x}{x+1}$|÷$\frac{{x}^{2}-16}{{x}^{2}-4x}$的值．

Answer 1

分析 根据3x²-x-1=0可以求得x的值，然后对所求式子进行化简，从而可以得到问题的答案．

解答 解：|2x-$\frac{{x}^{2}-2x}{x+1}$|÷$\frac{{x}^{2}-16}{{x}^{2}-4x}$
=|$\frac{2x（x+1）-（{x}^{2}-2x）}{x+1}$|×$\frac{{x}^{2}-4x}{{x}^{2}-16}$
=|$\frac{2{x}^{2}+2x-{x}^{2}+2x}{x+1}$|×$\frac{x（x-4）}{（x+4）（x-4）}$
=|$\frac{{x}^{2}+4x}{x+1}$|×$\frac{x}{x+4}$．
∵3x²-x-1=0，
解得，${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$．
∴当x=$\frac{1-\sqrt{13}}{6}$时，x＜0，x+4＞0，x+1＞0
原式=$\frac{-x（x+4）}{x+1}×\frac{x}{x+4}$=$\frac{-{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{-（\frac{1-\sqrt{13}}{6}）^{2}}{\frac{1-\sqrt{13}}{6}+1}$=$-\frac{1}{3}$．
当x=$\frac{1+\sqrt{13}}{6}$时，原式=$\frac{x（x+4）}{x+1}×\frac{x}{x+4}=\frac{{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{（\frac{1+\sqrt{13}}{6}）^{2}}{\frac{1+\sqrt{13}}{6}+1}$=$\frac{1}{3}$．
即|2x-$\frac{{x}^{2}-2x}{x+1}$|÷$\frac{{x}^{2}-16}{{x}^{2}-4x}$的值为$-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是将已知条件与所求问题建立关系．