Question

19．已知关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0
（1）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）把方程的根x=1代入求得m的值，然后求解方程得到另一根即可．

解答 （1）证明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）
=（m-2）²+4，
∵无论m取何值，（m-2）²+4＞0，
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；

（2）当x=1时，得：1-（m+2）+2m-1=0，
解得m=2，
所以方程变为x²-4x+3=0，
解得方程的另一根为x=3．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．