Question

20．如图，二次函数y=$\frac{1}{6}$x（x+5$\sqrt{3}$）与x轴负半轴交于点A，在第二象限作等边△ABO，点P为线段OA上的一个动点，连接BP，在BP的右侧作等边△BPQ，若点Q在抛物线上时，则AP的长为2．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式求得A的坐标，然后根据等边三角形的性质求得AB=OA=5$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，作PM⊥AB于M，QN⊥x轴于N，设PA=m，解直角三角形求得PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AM=$\frac{1}{2}$m，BM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，进而证得△PBM≌△QPN（AAS），得出QN=PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，PN=BM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，ON=$\frac{1}{2}$m，得出点Q（$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），代入抛物线解析式即可求得m的值．

解答 解：令y=0，则y=$\frac{1}{6}$x（x+5$\sqrt{3}$）=0，
解得x₁=0，x₂=-5$\sqrt{3}$，
A（-5$\sqrt{3}$，0），
∴OA=5$\sqrt{3}$，
∵△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=5$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，
作PM⊥AB于M，QN⊥x轴于N，
设PA=m，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AM=$\frac{1}{2}$m，
∴BM=AB-AM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，PB=PQ，
∵∠BPO=∠A+∠ABP=∠BPQ+∠QPN，
∴∠PBM=∠QPN，
在△PBM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBM=∠QPN}\\{∠PMB=∠QNP=90°}\\{PB=PQ}\end{array}\right.$
∴△PBM≌△QPN（AAS），
∴QN=PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，PN=BM=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m，
∴ON=PN-OP=5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$m-（5$\sqrt{3}$-m）=$\frac{1}{2}$m，
∴点Q（$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
∵点Q在抛物线上，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$m+5$\sqrt{3}$），
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∴AP的长为2，
故答案为2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．