Question

【题目】（1）计算：

1×2×3×4+1=________；

2×3×4×5+1=_______；

3×4×5×6+1=_______；

4×5×6×7+1=________；

（2）观察上述计算的结果，指出他们的共同特性；

（3）以上特性，对于任意给出的四个连续自然数的积与1的和仍具备吗？试证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）25、121、361、841；（2）是一个完全平方数；（3）具备，证明见解析．

【解析】

（1）计算即可求解；
（2）根据结果可直接看出它们都是完全平方数；
（3）根据题意可得第n个等式应是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2，再根据完全平方公式证明即可求解．

解：（1）1×2×3×4+1=25；
2×3×4×5+1=121；
3×4×5×6+1=361；
4×5×6×7+1=841；
（2），，，，所以都是完全平方数；
（3）具备，
证明：设四个自然数为n，n+1，n+2，n+3，

，

是一个完全平方数，所以具备同样的性质．