Question

14．观察下列等式：
①$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；…
回答下列问题：
（1）化简：$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$=$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$；
（2）化简：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；（n为正整数）；
（3）利用上面所揭示的规律计算：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}$+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知得出式子变化规律写出答案即可；
（2）进而由（1）的规律得出答案；
（3）利用发现的规律化简各式进而求出即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$=$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$；
故答案为：$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$；

（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；（n为正整数）；
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（3）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}$+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$
=$\sqrt{2015}$-1．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确发现式子中变化规律是解题关键．