Question

6．如果记y=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=$\frac{{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；f（$\frac{1}{2}$）表示当x=$\frac{1}{2}$时y的值，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$；…那么f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+…+f（n+1）+f（$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$+n（结果用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 分别带入计算f（2）、f（$\frac{1}{2}$）、f（3）、f（$\frac{1}{3}$）、f（n+1）、f（$\frac{1}{n+1}$），发现互为倒数的两数函数值和为1，故原式可化为n+1个1相加可得结果．

解答 解：∵根据题意，f（2）=$\frac{{2}^{2}}{1+{2}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
f（3）=$\frac{{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{10}$；
…
f（n+1）=$\frac{（n+1）^{2}}{1+（n+1）^{2}}$，f（$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{（\frac{1}{n+1}）^{2}}{1+（\frac{1}{n+1}）^{2}}$=$\frac{1}{1+（n+1）^{2}}$；
∴f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+…+f（n+1）+f（$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{9}{10}$+$\frac{1}{10}$+…+$\frac{（n+1）^{2}}{1+（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{1+（n+1）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$+1+1+…+1
=$\frac{1}{2}+n$
故答案为：$\frac{1}{2}$+n．

点评 本题主要考查求函数值的能力，罗列部分函数值发现其中规律是关键．