Question

20．已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，0）、（4，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）指出这个二次函数的顶点坐标、对称轴；
（3）在所给的坐标系中画出y=x²+bx+c的图象；
（4）x在什么范围内，y随x的增大而减小．

Answer 1

分析 （1）把两已知点的坐标代入y=x²+bx+c得到关于b、c的方程组．然后解方程组求出b、c的值即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到y=-（x-2）²-1，然后根据二次函数的性质求解；
（3）利用描点法画二次函数图象；
（4）根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{16+4b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以这个二次函数的表达式为y=x²-4x+3；
（2）y=（x-2）²-1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2；
（3）如图，

（4）当x＜2时，y随x的增大而减小．

点评 本用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．