Question

18．如图，E、F分别是AD和BC上的两点，EF将四边形ABCD分成两个边长为5cm的正方形，∠DEF=∠EFB=∠B=∠D=90°；点H是CD上一点且CH=lcm，点P从点H出发，沿HD以lcm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→B→C以5cm/s的速度运动．任意一点先到达终点即停止运动；连结EP、EQ．
（1）用t表示△EPD的面积（10-2.5t）cm²；
（2）试探究：当t为何值时，△EPD的面积等于△EQF面积的$\frac{7}{10}$？

Answer 1

分析 （1）由三角形的面积公式即可得出结果；
（2）分类讨论：①当点Q在AB上时；②当点Q在BF上时，③当点Q在CF上时，分别求出△EQF和△EQF的面积，根据面积关系得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t；
故答案为：（10-2.5t）cm²；
（2）分三种情况讨论：
①如图1所示，过Q作QM⊥EF，垂足为M．
∵四边形ABFE是正方形，
∴QM=AE=5cm．
当0＜t≤1时，S_△EQF=$\frac{1}{2}$EF×QM=$\frac{1}{2}$×5×5=12.5，S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t，
当 $\frac{7}{10}$S_△EQF=S_△EPD时，即 $\frac{7}{10}$×12.5=10-2.5t，
解得，t=0.5；
②当1＜t≤2时，S_△EQF=$\frac{1}{2}$×EF×FQ=2.5FQ，S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t，
∵FQ=10-5t，
∴$\frac{7}{10}$×2.5（10-5t）=10-2.5t，
解得：t=1.2；
③当2＜t≤3时，S_△EQF=$\frac{1}{2}$FQ×EF=2.5（5t-10），S_△EPD=$\frac{1}{2}$ED×DP=$\frac{1}{2}$×5×（4-t）=10-2.5t，
∴$\frac{7}{10}$×2.5×（5t-10）=2.5（4-t），
解得：t=$\frac{22}{9}$；
综上所述：当t的值为0.5s或1.2s或$\frac{22}{9}$s时，△EPD的面积等于△EQF面积的$\frac{7}{10}$．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形的面积计算以及分类讨论的思想等知识；熟练掌握正方形的性质，本题综合性强，确定点Q所在的位置是解决问题（2）的关键．