Question

7．先阅读并填空，再解答问题：
我们知道$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，那么
（1）$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；  $\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$．
（2）用含有n的式子表示你发现的规律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（3）依据（2）中的规律计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2015×2016}$．（写解题过程）
（4）$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2014×2016}$的值为$\frac{1007}{4032}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得；
（2）由已知等式可得$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（3）利用（2）中的结论，裂项求和可得；
（4）根据$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$）裂项求和可得．

解答 解：（1）根据题意得，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；  $\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$；

（2）由题意知$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$；

（4）原式=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1007}{2016}$
=$\frac{1007}{4032}$，
故答案为：$\frac{1007}{4032}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意得出$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$和$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$）及裂项求和的方法是解题的关键．