Question

如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，点F在BC边上
（1）如果FE⊥AE，求证：FE=AE；
（2）如果FE=AE，求证：FE⊥AE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEC，然后求出∠CBE=∠BEC，根据等角对等边可得BC=CE，根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而得到AD=CE，再根据同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF，然后利用“角边角”证明△ADE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得FE=AE；
（2）同（1）求出AD=CE，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ECF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CEF，然后求出∠AED+∠CEF=90°，再根据平角等于180°求出∠AEF=90°，然后根据垂直的定义证明即可．

解答：证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵矩形对边AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=CE，
∵矩形ABCD的对边AD=BC，
∴AD=CE，
∵FE⊥AE，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
在△ADE和△ECF中，

∠DAE=∠CEF AD=CE ∠C=∠D=90°

，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴FE=AE；

（2）同（1）可证AD=CE，
在Rt△ADE和Rt△ECF中，

FE=AE AD=CE

，
∴Rt△ADE≌Rt△ECF（HL），
∴∠DAE=∠CEF，
∴∠AED+∠CEF=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠AED+∠CEF）=180°-90°=90°，
∴FE⊥AE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图确定出全等三角形是解题的关键．