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【题目】如图,直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为( )

A.(﹣3,0)
B.(﹣6,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)

【答案】C
【解析】解:作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.

令y= x+4中x=0,则y=4,
∴点B的坐标为(0,4);
令y= x+4中y=0,则 x+4=0,解得:x=﹣6,
∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,
∴点C(﹣3,2),点D(0,2).
∵点D′和点D关于x轴对称,
∴点D′的坐标为(0,﹣2).
设直线CD′的解析式为y=kx+b,
∵直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2),
∴有 ,解得:
∴直线CD′的解析式为y=﹣ x﹣2.
令y=﹣ x﹣2中y=0,则0=﹣ x﹣2,解得:x=﹣
∴点P的坐标为(﹣ ,0).
故选C.
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题,解题的关键是求出直线CD′的解析式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,从而得出点P的坐标.

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