Question

5．有一块直角边长为4cm的等腰直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，要求正方形的四个顶点均在三角形的边上（包括三角形的顶点），正方形的一条边与三角形的一边平行，那么正方形的边长等于2或$\frac{4\sqrt{2}}{3}$cm．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，由于正方形的一边在三角形的哪一边上不明确，故应分两种情况讨论．

解答 解：如图（1），当正方形的一边在三角形的直角边上时，设正方形的边长为x，
在Rt△ADE与Rt△ACB中，根据正方形的性质可知DE∥CF，DE=CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{4}$，
解得，x=2cm．
如图（2），当正方形的一边在三角形的斜角边上时，设正方形的边长为x，
根据正方形的性质可知，DG⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AG=BF，AG=$\frac{AB-GF}{2}$，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵DG⊥AB，∴Rt△AGD∽Rt△ACB，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{DG}{BC}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{2}-x}{2}}{4}$=$\frac{x}{4}$，解得，x=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴加工成正方形零件的边长为2cm或$\frac{4\sqrt{2}}{3}$cm．
故答案是：2或$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想方法解答．