Question

13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）求证：PA=EF；
（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．

Answer 1

分析 （1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；
（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．

解答 解：证明：（1）连接PC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，
在△ABP与△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠C=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF．
（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，
∴BE=PE，又BC=a，
∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．

点评 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．