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    问题背景：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
    		5
    、
    		10
    、
    		13
    ，求这个三角形的面积．”
    小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网络中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），
    （1）如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积是
    3.5
    3.5
    ．
    （2）如图我们把上述求面积的方法叫做构图法．若△DCE三边的长分别为
    		m2+16n2
    、
    		9m2+4n2
    、
    		4m2+4n2
    （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
    分析：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，由正方形MNCP的面积-直角三角形AMB的面积-直角三角形ANC的面积-直角三角形PBC的面积，求出即可；
    （2）如图所示构造网格，网格由边长分别为m与n的36个小长方形构成，由矩形DEGK的面积-直角三角形DEF的面积-直角三角形HGF的面积-直角三角形DHK的面积，求出即可．
    解答：
    解：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，
    ∴S△ABC=S正方形MNPC-S△ABM-S△ANC-S△PBC=3×3-
    1
    2
    ×2×1-
    1
    2
    ×2×3-
    1
    2
    ×1×3=9-1-3-1.5=3.5；
    （2）如图所示，网格由边长分别为m与n的小长方形构成，
    在Rt△DEF中，EF=m，DE=4n，
    根据勾股定理得：DF=
    		DE2+EF2
    =
    		m2+16n2
    ，
    在Rt△DKH中，DK=3m，KH=2n，
    根据勾股定理得：DH=
    		DK2+KH2
    =
    		9m2+4n2
    ，
    在Rt△FGH中，FG=2m，HG=2n，
    根据勾股定理得：HF=
    		FG2+HG2
    =
    		4m2+4n2
    ，
    ∴S△DFH=S矩形DEGK-S△DEF-S△DKH-S△FGH=12mn-
    1
    2
    ×m×4n-
    1
    2
    ×3m×2n-
    1
    2
    ×2m×2n=5mn．
    故答案为：（1）3.5
    点评：此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，利用了数形结合的思想，弄清题意，画出相应的图形是解本题的关键．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
    		5
    、
    		10
    、
    		13
    ，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶精英家教网点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
    （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．
     

    （2）画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为
    		2
    、
    		8
    、
    		10

    ①判断三角形的形状，说明理由．
    ②求这个三角形的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
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    ①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
    ②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．
    然后运用类比的思想提出了如下命题；
    ③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：
    （1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
    （2）请你继续完成下面的探索：
    ①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立；（不要求证明）
    ②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景  在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
    例如：在图1中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：
    任务要求：
    （1）当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC；
    （2）当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结精英家教网论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    问题背景：已知x是实数，求y=
    		x2+4
    +
    		(12-x)2+9
    的最小值．要解决这个问题需现判断出0＜x＜12，继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于
    		x2+22
    和
    		(12-x)2+32
    的线段，再比较
    		x2+22
    和
    		(12-x)2+32
    和矩形对角线的大小．
    解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=12-x，
    PB=
    		x2+22
    PD=
    		(12-x)2+32
    BD=
    		122+52
    =13
    ∵PB+PD≥BD=13
    ∴y的最小值是13.

    （1）我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求y=
    		1+x2
    +
    		25+(8-x)2
    的最小值．
    探索创新：
    （2）已知a，b，c，d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求
    		a2+b2
    +
    		b2+c2
    +
    		c2+d2
    +
    		d2+a2
    的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•临川区模拟）问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．
    问题探究：
    （1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）
    ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．
    类比研究：
    （2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图4所示），且
    AB
    BC
    =
    CE
    CG
    =k（其中k＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断．
    拓展应用：
    （3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值．

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