Question

16．如图所示，已知△BAE和△CAF为等腰直角三角形．求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF．

Answer 1

分析 （1）要证EC=BF可转化为证明△EAC≌△BAF，由已知可证AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，因为∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即可证∠EAC=∠BAF，符合SAS，即得证；
（2）由三角形求得得出∠AFB=∠ACE，然后根据三角形内角和定理和等量代换得出∠BMC=∠BAC+∠ABF+∠AFB，然后根据∠BAC+∠CAF+∠ABF+∠AFB=180°，∠CAF=90°，即可证得结论．

解答 证明：（1）∵△BAE和△CAF为等腰直角三角形．
∴AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△EAC与△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∥EAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF；
（2）∵△EAC≌△BAF，
∴∠AFB=∠ACE，
∵∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=180°-（∠ABC-∠ABF+∠ACB-∠ACE）=180°-（180°-∠BAC-∠ABF-∠AFB）=∠BAC+∠ABF+∠AFB，
∵∠BAC+∠CAF+∠ABF+∠AFB=180°，∠CAF=90°，
∴∠BAC+∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠BMC=90°，
∴EC⊥BF．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．