Question

在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
①求证：△BDE是等边三角形；
②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；
③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析：①由等弧所对圆周角可得∠BCA=∠BDA=60°，显然∠BAC+∠ABC=120°，由两条角平分线和三角形的外角性质，可得到∠BED=60°，由此得证．
②由△BDE是等边三角形，可以得出BC垂直平分DE，从而证得△CDE为等边三角形，解决第二个问题．
③由第二个问题的结论，利用菱形面积等于对角线乘积的一半解决第三个问题．

解答：①证明：如图，在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．

②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．

③解：由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线，
可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，
∴AD=2CD=8，AC=4

3

因此S_{四边形ABDC}=2×（4×4

3

×

1

2

）=16

3

．

点评：此题主要考查等边三角形的判定，菱形的判定及三角形面积的有关计算．