Question

9．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
（1）当直线MN旋转到左图的位置时，猜想线段AD，BE，DE的数量关系，并证明你的猜想
（2）当直线MN旋转到右图的位置时，猜想线段AD，BE，DE的数量关系，并证明你的猜想

Answer 1

分析 （1）先证出∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，得出AD=CE，DC=EB，由DE=DC+CE，即可得出DE=EB+AD；
（2）先证出∠ACD=∠CBE，再证明△ADC≌△CEB，得出AD=CE，BE=CD，由CE-CD=AD-BE，即可得出结论．

解答 （1）答：DE=AD+BE；
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，而∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠CAD．
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠DAC}&{\;}\\{∠ADC=∠CEB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD=CE，DC=EB．
又∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD-BE；证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}&{\;}\\{∠ACD=∠CBE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
∴CE-CD=AD-BE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用；解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．题型较好．