Question

已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°，若点P为优弧

AB

上一动点（点P不与A，B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′，若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：作OC⊥AB于C，如图，根据等腰三角形的性质，∠AOB=120°得到∠OAB=∠OBA=30°，再根据切线的性质得∠OBA′=90°，则∠ABA′=120°，接着利用折叠的性质得到BP⊥AA′，BA=BA′，则∠A′AB=30°，所以可判断点A′在AO的延长线上，在Rt△ODB中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出BD=

3

，然后根据垂径定理得到BP=2BD=2

3

．

解答：解：作OC⊥AB于C，如图，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵BA′与⊙O相切于B点，
∴∠OBA′=90°，
∴∠ABA′=∠ABO+∠OBA′=120°，
∵△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′，
∴BP⊥AA′，BA=BA′，
∴∠A′AB=30°，
∴点A′在AO的延长线上，
在Rt△ODB中，∵∠BOD=60°，OB=2，
∴OD=

1

2

OB=1，
∴BD=

3

OD=

3

，
而OD⊥PB，
∴BD=PD，
∴BP=2BD=2

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了折叠的性质和垂径定理．