Question

（2012•赤峰）阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a-b＞0时，一定有a＞b；
当a-b=0时，一定有a=b；
当a-b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a²-b²=（a+b）（a-b），a+b＞0
∴（a²-b²）与（a-b）的符号相同
当a²-b²＞0时，a-b＞0，得a＞b
当a²-b²=0时，a-b=0，得a=b
当a²-b²＜0时，a-b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W₁，李明同学的用纸总面积为W₂．回答下列问题：
①W₁=

3x+7y

（用x、y的式子表示）
W₂=

2x+8y

（用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：

方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₁=AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₂=AP+BP．
①在方案一中，a₁=

（3+x）

km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a₂=

x2+48

km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

Answer 1

分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W₁-W₂=x-y，根据x和y的大小比较即可；
（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；
③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．

解答：（1）解：①W₁=3x+7y，W₂=2x+8y，
故答案为：3x+7y，2x+8y．
      
②解：W₁-W₂=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∴W₁-W₂＞0，
得W₁＞W_2，
所以张丽同学用纸的总面积大． 
  
（2）①解：a₁=AB+AP=x+3，
故答案为：x+3．
          
②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM=4-3=1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM²=AB²-1²=x²-1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=

A′M2+BM2

=

x2+48

，
故答案为：

x2+48

．

③解：a12-a22=（x+3）²-（

x2+48

）²=x²+6x+9-（x²+48）=6x-39，
当a12-a22＞0（即a₁-a₂＞0，a₁＞a₂）时，6x-39＞0，解得x＞6.5，
当a12-a22=0（即a₁-a₂=0，a₁=a₂）时，6x-39=0，解得x=6.5，
当a12-a22＜0（即a₁-a₂＜0，a₁＜a₂）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x=6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．

点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．