Question

13．如图，同底边BC的△ABC与△DBC中，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、DC的中点，求证：EH与FG互相平分．

Answer 1

分析 要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．

解答 证明：连接EG、GF、FH、HE，
∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴EF、GH分别是△ABC与△DBC的中位线，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GH．
∴四边形EGFH为平行四边形．
∴EF与GH互相平分．

点评 本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．