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【题目】如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F

(1)如图1,若点E为线段AM的中点,BMCM12BE,求AB的长;

(2)如图2,若DADE,求证:BF+DFAF

【答案】(1)AB6(2)证明见解析.

【解析】

1)设BMx,则CM2xBCBA3x;在RtABM中,E为斜边AM中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AM2BE2.由勾股定理可得AM2MB2+AB2,即可得40x2+9x2,解得x2.所以AB3x6;(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点,过点DDPAFP点.证明△ABF≌△ADH,根据全等三角形的性质可得AFAHBFDH.再由RtFAH是等腰直角三角形,可得HFAF.由HFDH+DFBF+DF,可得BF+DFAF

解:(1)BMx,则CM2xBC3x

BABC

BA3x

RtABM中,E为斜边AM中点,

AM2BE2

由勾股定理可得AM2MB2+AB2

40x2+9x2,解得x2

AB3x6

(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点,过点DDPAFP点.

DF平分∠CDE

∴∠1=∠2

DEDADPAF

∴∠3=∠4

∵∠1+2+3+490°

∴∠2+345°

∴∠DFP90°45°45°

AHAF

∵∠BAF+DAF90°,∠HAD+DAF90°

∴∠BAF=∠DAH

ABAD

∴△ABF≌△ADH(SAS)

AFAHBFDH

RtFAH是等腰直角三角形,

HFAF

HFDH+DFBF+DF

BF+DFAF

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