Question

2．如图1，已知点A（b，0），B（0，a），且a、b满足$\sqrt{a+b+3}$+（b+1）²=0，?ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线$y=\frac{k}{x}$经过C、D两点．且D（m，4）．
（1）求m和k的值；
（2）点P在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，∠THN的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的和等于0，可得这些非负数都等于0，从而可求出A、B的坐标，然后根据中点坐标公式就可求出m的值，再把点D的坐标代入反比例函数的解析式就可求出k；
（2）可分三种情况（AB、AP、AQ分别为对角线）讨论，然后只需运用中点坐标公式就可解决问题；
（3）过点N作NS⊥AH于S，作NR⊥AF于R，连接NH、NT，如图3．易证NR=NS，即可证到Rt△TRN≌Rt△HSN（HL），从而有∠RNT=∠SNH，由此可得∠TNH=∠RNS=90°，即可得到△TNH是等腰直角三角形，因而∠THN=45°（定值）．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a+b+3}$+（b+1）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{b+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），B（0，-2）．
∵E为AD中点，D（m，4），
∴根据中点坐标公式可得x_E=$\frac{{x}_{A}+{x}_{D}}{2}$=$\frac{-1+m}{2}$=0，
解得m=1，
∴D（1，4）．
∵D（1，4）在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴k=1×4=4，y=$\frac{4}{x}$；

（2）若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，
根据中点坐标公式可得$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{{x}_{p}+{x}_{Q}}{2}$，$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$=$\frac{{y}_{P}+{y}_{Q}}{2}$，
则有$\frac{-1+0}{2}$=$\frac{{x}_{P}+0}{2}$，$\frac{0-2}{2}$=$\frac{{y}_{P}+{y}_{Q}}{2}$，
解得x_P=-1，y_P+y_Q=-2．
∴y_P=$\frac{4}{-1}$=-4，y_Q=-2+4=2，
∴P（-1，-4），Q（0，2）；
②当AP为对角线时，
同理可得P（1，4），Q（0，6）；
③当AQ为对角线时，
同理可得P（-1，-4），Q（0，-6）；

（3）当T在AF上运动时，∠THN的度数不会变化，等于45°．
提示：过点N作NS⊥AH于S，作NR⊥AF于R，连接NH、NT，如图3．

∵∠FAB=∠HAB=45°，
∴NR=NS．
∵M是HT的中点，MN⊥HT，
∴NT=NH，
∴Rt△TRN≌Rt△HSN（HL），
∴∠RNT=∠SNH，
∴∠TNH=∠RNS=90°，
∴△TNH是等腰直角三角形，
∴∠THN=45°．

点评 本题主要考查了二次根式的非负性、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题．