Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为

 

．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，根据角平分线的定义求出∠CBD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．

解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴DE=

1

2

AD=

1

2

×6=3，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD=DE=3，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD=30°，
∴BD=2CD=2×3=6，
∵P点是BD的中点，
∴CP=

1

2

BD=

1

2

×6=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．