Question

2．如图，P是等边三角形ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠BPA的度数．

Answer 1

分析 将△PAC绕点C顺时针旋转60°得△BDC，根据旋转的性质得BD=AP=4，CD=PC=5，∠PCD=60°，∠DBC=∠PAC，则△PCD为等边三角形，得到PD=PC=5，在△AEP中，根据勾股定理的逆定理可得到△PBD为直角三角形，然后根据四边形的内角和即可得到结论．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ACB=60°，
可将△APC绕点A顺时针旋转60°得△BCD，
连PD，如图，
∴BD=AP=4，CD=PC=5，∠PCD=60°，∠DBC=∠PAC，
∴△PCD为等边三角形，
∴PD=PC=5，
在△PBD中，PC=5，BD=3，PB=4，
∴PD²=PB²+PA²，
∴△PBD为直角三角形，且∠PBD=90°，
∴∠PBC+∠CBD=∠PBC+∠PAC=360°-∠PBD=270°，
∴∠APB=360°-270°-60°=30°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．