Question

5．如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点F，AF=BF，点E在AB上，CE与AD交于点O，EC=EB，OF=4，FD=5，OE：OC=2：3．
（1）求证：OC²=OF•OD；
（2）求CD的长；
（3）求S_△OCF：S_△ABF的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据平行线的性质得到∠D=∠A，等量代换得到∠D=∠OCF，推出△COF∽△CDO，即可得到结论．
（2）由CD∥AB，得到∠D=∠A，∠DCF=∠B，等量代换得到∠D=∠DCF，于是得到CF=DF=5，求得OC=6，由△COF∽△CDO，列比例式即可得到结论；
（3）由已知条件得到OE=4，于是得到BE=CE=10，由△CDO△AEO，得到$\frac{CD}{AE}=\frac{OC}{OE}$=$\frac{3}{2}$，通过△CDF∽△ABF，得到$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{CD}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$，于是求得S_△CDF=$\frac{1}{4}$S_△ABF，由于$\frac{{S}_{△COF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{4}{5}$，于是得到S_△COD=$\frac{4}{5}$S_△CDF=$\frac{1}{5}$S_△ABF，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AF=BF，
∴∠A=∠B，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠A，
∴∠D=∠B，
∵EC=EB，
∴∠B=∠ECB，
∴∠D=∠OCF，
∵∠COF=∠COD，
∴△COF∽△CDO，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OF}{OC}$，
∴OC²=OF•OD；

（2）解：∵CD∥AB，
∴∠D=∠A，∠DCF=∠B，
∵∠A=∠B，
∴∠D=∠DCF，
∴CF=DF=5，
∵OC²=OF•OD，
∴OC²=4×（4+5）=36，
∴OC=6，
∵△COF∽△CDO，
∴$\frac{OC}{OF}=\frac{CD}{CF}$，
∴$\frac{6}{4}=\frac{CD}{5}$，
∴CD=$\frac{15}{2}$；

（3）解：∵OE：OC=2：3，OC=6，
∴OE=4，
∴BE=CE=10，
∵CD∥AE，
∴△CDO∽△AEO，
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{OC}{OE}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=5，
∴AB=15，
∵CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{CD}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{4}$S_△ABF，
∵$\frac{{S}_{△COF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{4}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{4}{5}$S_△CDF=$\frac{1}{5}$S_△ABF，
∴S_△OCF：S_△ABF=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．